Logística da Gênesis: Fractal

Fractal - Dimensão Oculta

Fractal

do latim fractus: quebrado, partido

Termo proposto por

Benoit Mandelbrot

em 1975

https://pt.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

Geometria Fractal

Geometria Fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamentos dos Fractais, que são coisas que não são facilmente entendidas através da Geometria Euclidiana.

Subentende-se "Coisa" como qualquer objeto inanimado. No sentido filosófico, "Coisa" é tudo aquilo que subsistente por si mesmo. Na filosofia kantiana "Coisa" é aquilo existe independentemente do espírito; no sentido usual, como para o Direito, "Coisa" é tudo aquilo que, percebido pelos sentidos, pode apresentar utilidade para o homem, caso em que se chama bem material.

A Geometria Fractal faz parte do ramo da matemática que estuda a Geometria não Euclidiana, e é aplicada em ciência, tecnologia e arte gerada por computador.

Uma propriedade dos fractais é sua complexidade infinita, que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.

O universo natural é repleto de fractais, e compreender os fractais é ter a compreensão melhor do universo.

Os fractais despertam a curiosidade de muitos, devido a sua beleza infinita e auxiliam outras áreas de entendimento e pesquisa, como por exemplo a Física, Geografia, computação gráfica e até mesmo a medicina.

Seu estudo nos leva a um melhor entendimento sobre o desenvolvimento da vida no planeta e suas características, além de despertar um interesse maior pelo conteúdo da geometria, já que esta é tão presente nos fractais, além de estar despertando cada vez mais o interesse de estudiosos em busca de soluções para situações do cotidiano.

Por volta da primeira metade do século XIX começaram a ocorrer vários questionamentos sobre a Geometria Euclidiana, principalmente ao polêmico quinto postulado de Euclides, polêmica esta, que gerou posteriormente um grande acontecimento na história da matemática, que foi a descoberta das geometrias não euclidianas, afirmando que além do axioma das paralelas, entende-se agora também, que por um ponto exterior a uma reta, passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtendo-se as chamadas Geometria Elíptica e Geometria Hiperbólica.

O Quinto Postulado de Euclides

Geometria Euclidiana

Diz que se uma reta cortar outras duas de modo que a soma dos ângulos interiores seja menor do que dois ângulos retos (180 graus), então as outras duas retas se interceptam no lado em que os ângulos internos são inferiores a dois retos de maneira que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 graus conforme figura acima onde os ângulos 90+50+40=180.

Geometria Hiperbólica

Contrapondo-se a Geometria Euclidiana no que se refere ao quinto postulado, temos na mesma figura acima os ângulos 90+90+50=240 graus confirmando a Geometria Hiperbólica e Elíptica que afirmando que onde a soma dos ângulos internos forem maior que 180 graus, formará figuras hiperbólicas e elípticas.

A Geometria Euclidiana é a geometria em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria - 330 a.C. descritos em sua Obra composta de 13 livros chamada "Os Elementos".

Na geometria convencional ( Euclidiana), a dimensão de um ponto é 0 (zero), de uma reta é 1 e de um plano é 2.

Dessa forma se pode distinguir objetos geométricos, que na geometria teriam as mesmas dimensões.

Geometria Fractal

O conceito da Geometria Fractal nasce da necessidade de medir objetos cuja Geometria Euclidiana falha.

Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, e estas partes são semelhantes ao todo.

Os Fractais tem:

infinitos detalhes geralmente auto similares, ou seja, geralmente o total é semelhante a parte de si mesmo.

São de escala, e não se alteram pela escala, e, podem ou não ser gerado por um padrão repetitivo de característica escalar.

Conjunto de Julia

um fractal relacionado ao conjunto Mandelbrot

Fractal é o termo para representar objetos geométricos de dimensões não inteiras, ou seja de dimensões fragmentadas.

Se olharmos a natureza com atenção, veremos que ela utiliza formas com pequenos fragmentos irregulares, que ao formarem o todo se transformam em árvores, montanhas, nuvens...

Quando se diz dimensão, estamos nos referindo entre muitos outros significados ao tamanho, importância no sentido de valor, ordem de matrizes na representação matricial de um grupo, grau num espaço vetorial, o número de vetores de sua base num espaço, o número mínimo de coordenadas necessárias à determinação unívoca de seus pontos, porém no caso dos fractais, dimensão significa estritamente o número fracionário ou irracional que caracteriza a geometria de um fractal.

Fractal de floco de Neve

Em um fractal cada fragmento é semelhante ao padrão maior e repetido infinitas vezes, ou quanto for necessário para compor o todo e, devido a essas características, podemos desenhar qualquer coisa de mapas, florestas, relâmpago, samambaias, galáxias, neurônios, rios, seres, infinitas coisas.

Ligado ao Caos:

Fornece ordem em uma aparente desordem, pois procura padrões em sistemas aparentemente “caóticos”.

Os fractais são considerados a linguagem do Caos, pois nos fractais é possível observar padrões onde só há irregularidade, complexidade e sensibilidade às condições iniciais, emergência, não extensividade, não linearidade.

Sistema de Coordenadas Cartesiano

René Descartes

Eixos X,Y

Quadrantes

Coordenadas

Origem Zero (0)

Abcissa

Ordenada

Representação de Pontos

no Plano Cartesiano

Fractal tetra-circulo

Etapas da Construção

profundidade 0

profundidade 1

profundidade 2

Triângulo (ou Tapete) de Sierpinski

Triângulo (ou Tapete) de Sierpinski é um fractal usualmente definido a partir de um triângulo.

A construção proposta aqui utilizará dois pontos como parâmetros, e serão apresentados apenas os passos para a construção do script recorrente que produz o fractal desejado.