Matemática

Matemática

A Matemática é a ciência que abriu os horizontes do conhecimento nos colocando no patamar da racionalidade, da ponderação,  da  conquista. A origem da matemática, se perde no tempo...

A priori pode significar aquilo que se pode aprender, é a ciência dos números e dos cálculos.

O matemático usa formulações em sua teoria, estuda as quantidades, o espaço, as relações abstratas e lógicas.

Atualmente esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como por exemplo, na arquitetura, informática, medicina, física, química etc..

Podemos dizer que, em tudo que olhamos existe a matemática.

São Áreas da Matemática:

1. Aritmética
2. Geometria
3. Geometria Analítica
4. Porcentagem
5. Trigonometria
6. Estatística
7. Educação Matemática

1 - 8. Aritmética

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, criando-se novos números para responder a novos problemas surgidos.

Aritmética é o ramo mais antigo e elementar da matemática, e lida apenas com números racionais e as relações possíveis entre eles.

O Conjunto dos Números Reais representado pela letra R, contém quatro conjuntos:

1. Conjunto dos Números Racionais representado pela letra Q
2. Conjunto dos Números Irracionais representado pela letra I
3. Conjunto do Números Inteiros representado pela letra Z
4. Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N

Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:

R = N U Z U Q U I 

ou

R = Q U I 

Onde:

• R: Números Reais 
• N: Números Naturais 
• U: União 
• Z: Números Inteiros 
• Q: Números Racionais
• I: Números Irracionais

O Conjunto dos Números Racionais engloba o Conjunto dos Números Inteiros Q e o Conjunto dos Números Fracionários inclusive o Zero, dessa forma o campo numérico dos Números Racionais ocupam toda a continuidade graças à união desses campos. Por se tratar de um conjunto contínuo, não tem representação explícita. É um conjunto numérico que ocupa todos os pontos da reta, também à esquerda de zero.

R = Q U I

O conjunto dos números inteiros com representação Z é o resultante da expansão do conjunto de números naturais com representação N incluindo a integração dos números negativos mais a inclusão do Zero. Por ser um conjunto discreto, pode ser explicitamente representado por:

Z = {... ­-3, ­-2, ­-1, 0, 1, 2, 3,...}

                                                                       
                                                     Z  U  N 

O conjunto dos números racionais com representação Q contém   o conjunto dos   números   inteiros com  representação Z,  este   por   sua  vez  contém  o conjunto dos números naturais com representação N.

                         Q =  Z  U N

O conjunto dos números racionais cuja representação Q, é a extensão dos números do conjunto Z, na qual o campo numérico passa a ocupar a parte racional da continuidade. Por não ocupá-la completamente, é considerado um conjunto denso, sem representação explícita. Pode existir na reta, desde que se indiquem os espaços vazios da descontinuidade, espaço este que correspondem aos números irracionais, também à esquerda de zero.

Números Naturais

O mais simples dos conjuntos é o Conjunto dos Números Naturais, que são os números inteiros positivos, é representado pela letra N, os elementos do conjunto devem estar sempre entre chaves { }.

{ 1,2,3,4,....} - {0} }

Em alguns textos o Zero não pertence a este conjunto dos números Naturais N, mas é comum encontrarmos a inclusão do zero.

ZERO

Vamos abrir parenteses

para falarmos um pouco do Zero

O conjunto vazio, representado por chaves ou parênteses, é um modo de indicar o zero { }

As regras que valem para todos os outros números não valem para o Zero, porque isso?

- Quem já anotou que, voltou da feira com zero laranjas, ou quem já comprou ração para zero gatinhos.

-Teoricamente ninguém! Isso, porque o  zero está relacionado a ideia do nenhum,

do inexistente,                           

do nada,                       

do vazio,           

do nulo, 

... porém é um algarismo que revolucionou o mundo!

A Questão do Zero é:

"o de Ser e o de Não Ser"

                                                          ...   eis a questão!

Quando ele está a esquerda de um  número  este diminui de valor.

Quanto mais zeros estão a direta de um número, mais este número aumenta o valor.

O conceito de zero ainda hoje segue revirando nossas idéias de como um nada, dependendo de sua colocação, é tanto!

Falta ainda muito, para entendermos a complexidade deste número!

Para o ocidente o zero continua sendo mera abstração, o nada em oposição ao tudo, com isso nos deparamos com a possibilidade de:

•  como é possível o Vazio ser Cheio de Sentidos.

• talvez o zero assuste por que carrega consigo, também, este outro paradigma, o de ser o Nada que efetivamente Existe.

Na matemática embora o zero pareça ser limitado, sua função é especial, desde o primeiro momento ele se rebelou contra as regras que todos os números devem seguir:

O zero inviabilizou a Regra de que todo número natural não pode ser dividido por ele mesmo

• Anterior ao zero 1:1=? a partir do zero 1:1=0        

• O zero pode ser multiplicado por qualquer algarismo que não deixa de ser zero 0 x 5 = 0

• O zero pode ser dividido por qualquer número que não deixa de ser zero 0 : 7 = 0

• ...mas não deixa nenhum número, por melhor e maior que seja, ser dividido por ele 7 : 0 = 7

• ... e ainda, mesmo que todos os zeros do universo se coloquem a esquerda de um outro algarismo, nada muda, daí a expressão zero a esquerda, que em matemática  significa inulidade, insignificância, 0,1 00,1 000,1

• Se  zero for colocado ao lado direito de um algarismo, altera significativamente o valor de tal algarismo, a medida que aumenta a quantia de zeros 10,  100, 1000 ....

Decididamente o Zero não é um "zero a esquerda", foi uma surpresa constatar como é central a ideia de zero: "o nada que gera tudo"(Kaplan) e ainda há quem diga que o zero é parente do infinito, outra abstração que mudou as bases do pensamento científico, religioso e filosófico, eles são equivalentes e opostos (Yin e Yang).

A aritmética se desenrola em obediência a uma ordem de operações. As operações aritméticas tradicionais são adição, subtração, multiplicação e divisão,

embora operações mais avançadas tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação ou potência e funções logarítmicas também por vezes são incluídas na aritmética.

Porcentagem

Porcentagem de um jeito fácil

Raiz Quadrada

Raiz Quadrada

Como Calcular raiz quadrada, cúbica, quarta e outras

Exponenciação ou Potência

A exponenciação ou potência é a operação inversa da radiciação ( raiz) e vice versa.

Quando temos um número numa raiz quadrada, que é elevado ao quadrado, ele automaticamente sai da raiz.

Teoria dos Conjuntos

A Teoria dos Conjuntos, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor.

Conjuntos não podem ser definidos, no entanto, entende-se por conjunto toda lista ou coleção de objetos ou símbolos que seja bem definida, e, podemos associar cada item ao "conjunto".

Símbolos utilizados para simplificar a escrita:

• Conjunto - indica-se entre chaves os elementos contidos.

• Elemento - Elemento são os componentes do conjunto. Se o elemento está presente no conjunto, dizemos que o elemento pertence ao conjunto, caso contrário, dizemos que ele não pertence o conjunto ao conjunto e usamos o símbolo abaixo:

• Pertinência -Se o elemento pertence ao conjunto, dizemos:

∈ = pertence

∉ = não pertence

tal que

∅∅ ou { }= conjunto vazio

Conjunto unitário: possui um único elemento. 

Função

A palavra função é substantivo feminino e significa:

1. atividade natural ou característica de um órgão, aparelho, engrenagem etc.
2. obrigação a cumprir, papel a desempenhar, "f. de mediador"

Na matemática Função é um instrumento de muita importância, que se desenvolveu lentamente com o surgimento da parte da matemática  chamada Analíse.

Por Exemplo: 

• quantos Km um carro anda numa estrada conforme períodos determinados de tempo 

Na matemática Função é um dos conceitos mais importantes, é utilizada para estabelecer uma relação entre elementos de dois conjuntos distintos:

A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x ou y, temos um valor de f(x) ou f(y),  Chamamos x de domínio e f(x) ou f(y)  de imagem da função.

A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x, e, Y um conjunto dos elementos de y, temos que:

esta relação é uma função f de A em B representada

por:

f: A→ B 

f: x → y  

Funções Logarítmicas

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática, é utilizada para estabelecer uma relação entre elementos de dois conjuntos distintos:

2 -8. Álgebra

3 - 8. Geometria

4 - 8. Geometria Analítica

5 - 8. Porcentagem

6 - 8. Trigonometria

7 - 8. Estatística

8 - 8. Educação Matemática

Referencial Cartesiano

Quadrantes 

Coordenadas X Y





Ponto das Coordenadas



Alguns Pontos das Coordenadas X Y





Quadrantes, suas coordenadas X,Y e sinais

1º Quadrante: parte superior à direita do plano (x, y)

2º Quadrante: parte superior à esquerda (– x, y)

3º Quadrante: parte inferior à esquerda (– x, – y)

4º Quadrante: parte inferior à direita(x, – y)

alguns pontos no plano cartesiano

Abaixo, como estamos falando de coordenadas, veremos abaixo algumas aplicações ou seja Funções que utilizam as coordenadas para soluções de problemas que se apresentam no dia a dia.
Apenas como ilustração, alguns tipos de funções mais complexas:

Função Cilíndrica

A base do cilindro tem  raio r e  altura h concluímos que:

1. Para saber o Volume do cilindro:(base x altura)

   - Multiplicar a circunferência total (PI) da base  pela Altura do cilindro (h) :

Logo:       

2. Para sabermos a Área do cilindro:

- Calcular separadamente:

1. área da base = AB
2. área da lateral AL

Área Total é

Função Esférica

Função elíptica

Algoritmos

inventando um algorítimo, para o cotidiano.

isto é um algorítimo de como devo iniciar meu dia!

Em aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais, sendo que estas operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético, exemplo:

Trigonometria

Trigonometria do grego trigonõn triângulo + metrun medida, é um ramo ;da matemática que estuda a relação entre os comprimentos dos dois lados de um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo que contenha um angulo de 90 graus, para diferentes valores de um de seus ângulos agudos.

Logaritmos

Função Matemática

Função - é um dos conceitos mais importante da matemática.

Existem várias definições. dependendo da forma como são escolhidos os axiomas ou postulados, que por sua vez é sentença ou proposição, que não é demonstrada e nem provada, e, é considerada óbvia ou um consenso inicial e necessária, para a construção ou aceitação de uma teoria.

Existem inúmeras funções matemáticas, entre as principais temos:

Função sobrejetora

Função Injetora

Função bijetora

Função Linear

Função Modular

Gráfico demostrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos.

Função Quadrática

Função Logarítmica

Logarítmos em várias bases: Vermelho representa a base, Verde a base 10, lilás a base 1,7.

Inverta a base some com o expoente X e multiplique as equações depois de somar as raízes das duas equações. Note como logarítmos de todas as bases passam pelo ponto (1,0)

Função Polinomial

Função Trigonométrica